Մաթեմատիկա

10-րդ դասարան

                                       Ամփոփիչ առաջադրանք

1. Տրված թիվը ներկայացնել ամբողջ թվի և մեկից փոքր ոչ բացասական տասնորդական կոտորակի գումարի տեսքով:

ա)   57,3=57+0.3         բ) -12,07=0,93-13

2. Տրված  սովորական  կոտորակը գրել տասնորդական

                       կոտորակի տեսքով:

ա)  ¾=0.75         բ ) 37/25=1.48

               3. Տրված տասնորդական կոտորակը  գրել սովորական

     կոտորակի  տեսքով:

ա)  3,57=3 57/100     բ ) 0,007=7/1000

4. Տրված  սովորական կոտորակը  գրել անվերջ պարբերական

տասնորդական կոտորակի տեսքով:

ա ) ⅓=0.(3)    բ ) 1/7=0.14285714

5. Անվերջ  պարբերական տասնորդական կոտորակը  գրել

սովորական կոտորակի  տեսքով:

ա)   0,3(4)=31/90    բ) 0, (3) =1/3

6.Գտնել արտահայտության արժեքը

(316 )*( 316)2 =16,     0,1/(0,1)5 =10000

7.Ազատվել  հայտարարի իռացիոնալությունից:

ա) 3/7+1 =√7-1/2   , բ) a2-b2/a +b =(a-b)(√a-b)

8.Կատարել  գործողություն:

ա) (a-2/3):a1/8 =a -12/24,       բ) (a-5/8)0,4 *a0,25 = a^0=1

9.Գտնել արտահայտության  արժեքը:

ա) ((7+)-1/2)1/8 =-√7/16 ,  բ) ((3+)1/2)-½=-√3/4

10.Գտնել

  (b+5)(6-b) արտահայտության  արժեքը, եթե

b+5      +6-b =5

Պատասխան=

11.Քանի  ռադիան է:

ա) 300 =P/6=P/6    բ) 3000 =5P/3 =5P/3

12. Քանի աստիճան է:

ա) 3π/5ռադ =108 աստիճան=108 ,   բ) -7π/12 ռադ=105

13.Արտահայտել ռադիաններով:

ա) հավասարակողմ  եռանկյան անկյունները=P/3,P/3,P/3

բ)   հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան  անկյունները=P/4,P/4,P/2

14.Գտնել արժեքը:

ա) sin(9π/4)=√2/2

բ) sin π/6 + sin π/4 + cos π/4=(1+2√2):2

գ) tgπ/3 * ctg2π/3 + sin π11=1+sin180

15.Որ  քառորդում  է α-ն, եթե

ա) α =870=առաջին    բ) α=37π/6ժ=Առաջին

16.  Գտնել  sin α, cos α, tg α, ctg α , եթե  α=11π/4

sin -/2/2, cos -/2/2, tg 1, ctg 1

17. Գյուղից դեպի քաղաք, որոնց հեռավորությունը 120կմ է, մեկնեց մարդատար մեքենան: 30ր անց քաղաքից գյուղ մեկնեց բեռնատարը և մարդատարին հանդիպեց քաղաքից 45կմ հեռավորությամբ: Գտնել բեռնատարի արագությունը, եթե այն մարդատար մեքենայի արագությունից փոքր է 5կմ/ժ:

Մարդատար մեքենա-50 կմ/ժ ,Բեռնատար-45 կմ/ժ

Պյութագորասի 

բացահայտումները

Պյութագորասի կյանքի և գործունեության մասին քիչ բան է հայտնի: Հասուն տարիքում նա Հունաստանից տեղափոխվել է Հարավային Իտալիայի Կրոտոն քաղաքը և հիմնադրել դպրոց, որը կոչվել է «Պյութագորասյան միություն»: Իր զարգացրած փիլիսոփայական ուսմունքում Պյութագորասն ամեն ինչի հիմքը համարել է թվերը, որոնց վերագրել է խորհրդապաշտական և կենսական իմաստներ: Հետագայում այդ ուսմունքը զարգանալով վերածվել է փիլիսոփայական ուղղության, որը հայտնի է իբրև պյութագորասականություն:

Մաթեմատիկայի բնագավառում Պյութագորասի անվան հետ են կապված ապացուցման մեթոդի ներմուծումը երկրաչափության մեջ, երկրաչափական թվաբանության ստեղծումը, ձայնագիտության և հարմոնիայի խնդիրների մշակումը, զույգ ու կենտ, հասարակ, բաղադրյալ ու կատարյալ թվերի մասին ուսմունքը: Պյութագորասին է պատկանում այն հայտնի թեորեմի ապացուցումը, որը կապ է հաստատում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև. այն է՝ ուղղանկյուն եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարը հավասար է ներքնաձիգի քառակուսուն (Պյութագորասի թեորեմ):

Հայ իրականության մեջ Պյութագորասի ուսմունքի մասին տեղեկություններ են պահպանվել Դավիթ Անհաղթի «Սահմանք իմաստության» երկում:

Երկրաչափությունն ունի երկու գանձեր.

Պյութագորասի թեորեմը,

Հատվածի բաժանումը մասերի և նրանց հարաբերությունը:

Առաջինը կարելի է համեմատել ոսկու չափի ,

Երկրորդը՝ հիշեցնում է թանկարժեք քար:

/ Ի. Կեպլեր /

Այսօր ճշգրիտ հնարավոր չէ հիմնավորել ոչ ժամանակը, ոչ էլ այն մարդուն, որ հայտնաբերել է ոսկե հատումը: Շատ հետազոտողներ համարում են, որ ոսկե համամասնությունն առաջինը հայտնաբերել է հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա Պյութագորասը:
Պյութագորասը ծնվել է 570թ. մ. թ. ա. Սամա կղզում: Նա լքում է իր հարազատ կղզին և ուղևորվոմ է ճանապարհորդելու: Նա լինում է Եգիպտոսում, որտեղ գերի է ընկնում և տեղափոխվում Բաբելոն: Այստեղ քրմերը տվեցին նրան հնարավորություն սովորելու թվերի տեսությունը, երշտություն և փիլիսոփայություն: Հասուն տարիքում Պյութագորասը հաստատվեց Կրոտոնում, որտեղ հիմնեց խիստ փակ միություն: Պյութագորասի հետևորդներին է պատկանում մաթեմատիկայի, երաժշտության տեսության, փիլիսոփայության հանճարեղ բացահայտումները, սրանք մինչ օրս չեն կորցրել իրենց նշանակությունը:
Պյութագորասի հետևորդների ուսմունքում, երաժշտությունը, հարմոնիան, թվերը սերտորեն կապված են միմյանց հետ: Մաթեմատիկան հանդիսանում էր նրանց հավատքի հիմքը: Պյութագորասիցիները գտնում էին, որ Դիոնիս Աստվածը թիվը դրել է աշխարհի ստեղծման հիմքում, նա արտացոլում է աշխարհի միասնությունըբնրա սկիզբը,իսկ աշխարհն իրենից ներկայացնում է բազմություն,կազմված հակադրություններից: Այն որ հակադրությունները բերում են միասնության, դա է հենց հարմոնիան: Հարմոնիան Աստվածային է և ամփոփված է թվային հարաբերություններում: Ինչպես նշում է Արիստոտելը, Պյութագորասիցիները տեսնում էին թվերի մեջ հատկությունները և հարաբերությունները բնորոշ հարմոնիկ համակցություններով: Նրանք ամբողջ տիեզերքը համարում էին հարմոնիա և թիվ:
Պյութագորասի անվան հետ դեռ դպրոցական տարիներից կապում ենք, ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի քառակուսիների գումարի թեորեմը: Այդ թեորեմը զարմանալի գեղեցիկ թեորեմ է: Ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին: Քիչ կան այսպիսի պարզ ու գեղեցիկ բանաձևեր: Կա այսպիսի մի լեգենդ, որ Պյութագորասն այս թեորեմը բացահայտելիս, ինքն իսկ հիացած էր իր բացահայտումից և 100 ցուլ զոհաբերեց Աստվածներին: Կան աղբյուրներ, որ նշվում է մեկ ցուլ է զոհաբերված: Պատմաբանների վկայությամբ Պյութագորասին է պատկանում, բացի հանրահայտ թեորեմից և ոսկե հատումից, երաժշտության տեսության աշխատանքներ, իռացիոնալ թվերի բացահայտումը, Պյութագորասը ստեղծել է Արևային համակարգի մոդելը, որը հիմնված է մոլորակների դասավորվածության և երաժշտության հնչյունների օկտավաների դասավորվածության նմանօրինակության վրա:
Պյութագորասի պնդումը. Ամեն ինչ թիվ է հիմնված է բնության մեջ գոյություն ունեցող պարզ ամբողջ թվերի հետ: Ահա ինչու նա ամենուր փնտրում է օրինաչափություններ ոչ մեծ թվերի մեջ, տալով նրանցից յուրաքանչյուրին հաճախ նաև գերբնական դեր: Պյութագորասը փոքր թվերը համարում էր կատարելիության աղբյուր: Հնարավոր է որ մանրակրկիտ հետազոտելով պարզ երկրաչափական մարմինները նրան բերեցին մաթեմատիկական օրենքների բացահայտումներին: Շատ մաթեմատիկական օրինաչափություններ մեր շրջապատում են, այդ ամենը տեսնում են այն մարդիկ, ովքեր ունեն վերլուծական միտք և տրամաբանական մտածելակերպ:
Մեր ժամանակներում շատ դժվար է պատկերացնել, որ հնարավոր է գիտության զարգացումն առանց փորձարկումների, սակայն հենց այդպիսին էր գիտությունը հին աշխարհում:
Դիտարկենք պարզագույն ուղղանկյուն եռանկյուն, որի էջերը հարաբերում են, ինչպես 1:2: Այս եռանկյան փոքր էջը 1-ն է, իսկ մեծ էջը՝ 2-ը: Պյութագորասի թեորեմից ներքնքձիգը կլինի   : Հին աշխարհում այս եռանկյանը, որի կողմերը հարաբերում են 1:2:  շատ հայտնի եռանկյուն է: Այս եռանկյունն ոչ միայն լավ հայտնի էր Պյութագորասին, այլև նա հանդիսանում էր մի շարք մաթեմատիկական մտահղացումների, հայտնագործությունների զարգացման հիմք: Այս եռանկյան ներքնաձիգի երկարությունը՝    կարող էր տալ իռացիոնալ թվերի բացահայտման սկիզբը, բացի դրանից 5 թիվը Պյութագորցիները համարում էին սուրբ թիվ:
Եռանկյան   a,b,c կողմերի հարաբերությունը a/b=1:2, c/a= /1, c/b= /2, այստեղից հետևում է  (a+c)/b=( )/2= 1,618033… Սա էլ հենց ոսկե համամասնությունն է՝ Փ: Ինչպես տեսանք այս հրաշալի համամասնությունը բառացիորեն գտնվում է մեր կողքին,մեր տեսադաշտում, այն պետք է միայն տեսնել:
Երկրաչափության մեջ գոյություն ունեն ոսկե հատման կառուցման զանազան եղանակներ, ընդ որում հատկանշական է, որ այդ կառուցումների համար բավական է վերցնել ամենապարզ երկրաչափական պատկերները: Այսպիսով հին աշխարհում լավ հայտնի պարզ ուղղանկյուն եռանկյունը 1:2 էջերի հարաբերությամբ, դարձավ ոսկե հատման և իռացիոնալ թվի, Պյութագորասի մեծագույն բացահայտման հիմքը: Իհարկե, իրականում Պյութագորասի ուսումնասիրությունների հաջորդականությունը, որը բերեց նրան մեծագույն մաթեմատիկական բացահայտումների՝ 3:4:5  կողմերով ուղղանկյուն եռանկյան դիտարկումն է, որը հայտնի է դեռ շատ վաղ ժամանակներից և այդ եռանկյունը կոչում էին <<կատարյալ>>, <<սուրբ եգիպտական>>, <<Պյութագորասի եռանկյուն>>:
Արքիմեդի ժամանակակից Իրանի ճարտարապետները, օգտագործում էին այդ եռանկյունը գմբեթներ նախագծելիս: 3:4:5 կողմերի հարաբերությամբ եռանկյունը հին աշխարհում կոչվում էր <<Աստվածային>>, որի համար a2+b2=c2 ,որտեղ a,b, c-ն ամբողջ թվեր են և 52=32+42, 132= 122+52, 252=242+72 :
Իրականում այստեղ գործում է Պյութագորասի թեորեմը: Պյութագորասի<<Աստվածային>> եռանկյունից Պյութագորասի թեորեմը տարածվեց մնացած բոլոր ուղղանկյուն  եռանկյունների վրա և բացահայտեց իռացիոնալ թվերը և ոսկե հատումը:
Գիտության պատմության մեջ քիչ չեն դեպքերը, երբ ինչ-որ բացահայտում մոռացվել է և նորից բացահայտվել է մեկ ուրիշ գիտնականի կողմից: Մ.թ. ա. տասնմեկերորդ դարում չինացիները ծանոթ էին 52=32+42  այս թեորեմի հետ, նշում է Մատիլա Գիկան/Матила Гика/:
Պլուտարխը նշում է, որ 3:4:5 կողմերով եռանկյան մակերեսը հավասար է 6-ի և այդ եռանկյան մակերեսի խորանարդը հավասար է այդ եռանկյան կողմերի խորանարդների գումարին՝ 63=53+43+33:
Պյութագորսի Աֆորիզմները

Երևի թե բոլորդ ճանանչում եք Պյութագորասին:Պյութագորասը, անտիկ մաթեմատիկոս և փիլիսոփա, առավելապես հայտնի է իր անվամբ կոչված Պյութագորասի թեորեմով։Պյութագորասը և նրա աշակերտները հավատում էին, որ ամենը կապված է մաթեմատիկայի հետ, և կարծում էին որ ամեն ինչ կարող է կանխագուշակվել և չափվել ցիկլերի օգնությամբ։Առաջարկում եմ ձեզ ընթերցել նրա` Պյութագորասի աֆորիզմները:
Ինչքան էլ կարճ լինեն բառերը,միևնույն է նրանք պահանջում են ամենալուրջ մտածողություն:

Լռիր կամ ասա լռությունից ավելի լավ ինչ-որ բան:

Մի քննարկիր ոչինչ երեխաների,կանանց և ժողովրդի հետ:

Մի դատիր անձիդ բարձրության մասին,քո ստվերով`մայրամուտի ժամանակ:

Արթնանալով առավոտյան`հարցրու ինքդ քեզ`ինչ պետք է անեմ:Իսկ երեկոյան`քնելուց առաջ`ինչ արեցի:

Ինչ էլ որ քո մասին մտածեն…Արա այն,ինչ մտածում ես,որ արդարացի է:Եղիր միանման անտարբեր`քննադատության ու գովեստի հանդեպ:

Կատակը`աղի նման,պետք է չափի մեջ օգտագործել:

Կատարիր հանճարեղ գործ`չխոստանալով հանճարեղություն:

Մեծ գիտություն»»Երջանիկ ապրելը»» կայանում է նրանում,որ պետք է ապրել միայն ներկայում:

Ընկերությունը հենց հավասարությունն է:

Եթե կարող ես լինել արծիվ,մի ձգտիր դառնալ առաջինը`ագռավների մեջ:

Երկու մարդկանց մեջ,ովքեր ունեն նույն ուժը,ուժեղ է նա,ով ճիշտ է:

Գտիր քեզ ընկեր:Դու չես կաող լինել երջանիկ միայնակ:Երջանկությունը երկուսի պարգևն է: